Основные понятия геометрии

“Единственный путь, ведущий к знанию – это деятельность”

Б.Шоу

Геометрия среди других областей математики выделяется одной ей присущей особенностью. Эта особенность состоит в том, что те теоремы и свойства фигур, которые изучаются в геометрии, не только устанавливаются путем ряда рассуждений, но во многих случаях могут служить объектом непосредственного созерцания; справедливость этих свойств не только доказывается, но и подтверждается непосредственным зрительным изучением.

Непосредственное созерцание геометрических фигур у древних Египтян (за 2000 лет до н.э.) служило главным способом убеждаться в наличии тех или иных свойств. Но такой способ мог быть пригоден лишь для установления простейших геометрических фактов.

Кроме того, сама наглядность чертежа в применении к более сложным геометрическим фигурам часто весьма обманчива и приводит иногда к неверным заключениям.

Первое научное обоснование геометрии примерно за 300 лет до н.э. дал греческий геометр Евклид в знаменитых “Началах”.

Объекты Евклидовой геометрии допускают различные конкретные толкования (интерпретации). Евклидова интерпретация возникла как отражение фактов действительности и связана с наглядными представлениями об окружающем мире.

Вся геометрическая терминология свидетельствует о том, что понятия о геометрических образах – это абстракция от реальных предметов.

Так, например, “точка” происходит от глагола “ткнуть” и означает результат мгновенного прикосновения, укола. Тот же смысл имеет латинское слово punctum. Рunct – точка. И русский термин “пункт” – место.

Слово “линия” (лат. Linea) происходит от латинского linum – лён, льняная нить. То есть понятие “линия” является абстракцией от тонкой льняной нити. Понятие “прямая линия” – абстракция натянутой льняной нити.

На мотив “Улыбка”

Математика – предмет сухой
Лишь для тех, кто им совсем не занимался.
Вам скажу секрет один простой –
Без нее никто из Вас не просыпался.

Мы гимнастику ума начинаем все с утра:
Сколько будем на уроках, когда дома…
Сколько времени иметь,
Чтоб к звонку нам всем успеть,
И с соседкой перекинуться хоть словом.

Математика – предмет такой:
Сложно он дается очень многим детям,
А учитель вроде и не злой,
Только требует, чтоб знали все на свете.

Сколько будет дважды два,
Есть ли хобот у слона,
Сколько ног и сколько крыльев у индюшки.
Сколько мяса положить,
Чтобы красный борщ сварить…
И на празднике пропеть для всех частушки.

В кабинете воздух свеж всегда,
Но не для того, чтоб дети замерзали…
Просто атмосфера такова,
Чтобы мысли побыстрее созревали.

И по формуле пути
Расстояние найти
Без особого труда мы с Вами можем:
Если время нам дано,
Зная скорость лишь еще
На него ее спокойненько умножим.

Но задачка нынче такова,
Что известен нам весь путь и только время.
Скорость ты легко найдешь тогда,
Когда путь на время правильно поделишь.

Чтобы времечко найти,
Ты резину не тяни,
Ведь не глупый же у нас ты в самом деле.
Как нам время отыскать
Можешь также разобрать:
В этом случае ты путь на скорость делишь.

Ребята! Сейчас, буквально перед звонком на урок, в школу был доставлен Указ. Дело это серьезное, оставить без внимания нельзя, поэтому я вам сейчас его зачитаю.

Учитель зачитывает Указ Главной Фигуры Науки геометрия.

Итак, следуя Величайшему Указу, мы начнем с вами наш необычный урок.

Многие слова, встречающиеся в математике, встречаются и в других учебных предметах, но имеют совершенно другое значение.

1. У доски двое учеников: девочка и мальчик.

- Ты умеешь делить? – спрашивает девочка.

- Да. - отвечает мальчик.

- Тогда раздели “девять” на “три”, - предлагает девочка.

- Пожалуйста, - отвечает мальчик и пишет на доске: де-вя-ть.

2. Вбегает ученик, экзаменатор спрашивает его: “Извлекать корни умеете?”

- Да, конечно, - отвечает возбужденно ученик, - Нужно потянуть за стебель растения посильнее, и корень его извлечется из почвы.

- Нет, - говорит экзаменатор, - Я имел ввиду другой корень. Например, из “девяти”…

- Это будет “девя”, т.к. в слове девять суффиксом является ть, - быстро отвечает ученик.

- Вы меня совсем не поняли, я имел ввиду корень квадратный.

- Квадратных корней не бывает! – вновь не теряется ученик. – Они бывают мочковатые и стержневые.

- Я прошу извлечь арифметический квадратный корень из “девяти”.

- “Три”, - спокойно отвечает ученик, - т.к. “три” в квадрате – это “девять”, - И поднимает заранее подготовленную табличку   = 3

3. Один мальчик спрашивает другого: “Сколько будет “пять”, умноженное на “четыре” плюс “три”?

- Двадцать три, - отвечает второй и пишет: 5 х 4 + 3 = 23

- Неверно, - говорит первый. – Это будет 35 и пишет: 5 х ( 4 + 3 ) = 35

- А сколько будет “пять” умноженное на “четыре” плюс “три”?- спрашивает он снова.

- 35, отвечает второй.

- Неправильно. Теперь это будет 23”, - говорит первый.

Выходит девочка с плакатом точки.

- Я – Точка. Главная везде. Без меня ты не построишь никакой геометрической фигуры.

В это время выходят четыре ученика. Все они – точки.

Точка А говорит: “А имена у нас у всех разные”.

По очереди называются:

Точка А;
Точка В;
Точка С;
Точка D.

У точки А в руках клубочек шнура, они раздвигают его с точкой В. Точка В говорит: “А я – отрезок, часть прямой. Я ограничен точкою одной, потом другой. Меня ты можешь прочитать хоть сзади наперед, хоть спереди назад.

(Читают: один – АВ, другой – ВА).

Но если ты возьмешь лишь часть прямой и ограничишь точкою одной, то будет линия другая, в одну лишь сторону она спешит без конца и без края и называется луч АВ.

(Ученики изображают шнуром луч)

Затем четыре ученика натягивают веревку так, что получается ломаная и точка С говорит: “Меня узнать нетрудно. Я – ломаная. Но, если А и D возьмутся за руки, то в миг изменят облик мой и имя”.

Точка D говорит: “Три точки я поставила, попарно их соединив. Фигура получилась - треугольник”.

(Показывает табличку e АВС)

Выходит ученик и говорит: “Но, если поступлю я так – разъединяет сторону АС, а концы веревки берут еще двое, встают к точкам А, В и С так, чтобы получился угол, - то получу фигуру по фамилии Угол, а имена у них разные.”

Выходят ученики с табличками углов и называют их: острый угол, прямой, тупой, смежные углы, вертикальные углы, центральный угол.

Выходит мальчик с плакатом треугольника и говорит: “Мы братья родные, фигуры простые. Всего лишь три точки – вершины у нас; отрезками их соединив, получим три элемента других - три стороны, а между ними три элемента иных – три угла.

Фамилия у нас Треугольник, а вот имена – равносторонний (далее по порядку выходят ученики и называют изображенные треугольники), равнобедренный, прямоугольный, тупоугольный, остроугольный.

Далее, выходит мальчик с фигурой квадрат и говорит: “А я чуть сложнее. Четыре точки, четыре отрезка, но разные формы, фигуры другие – квадрат, параллелограмм, ромб, прямоугольник, трапеция.

Обо всех этих фигурах и их свойствах мы узнаем изучая науку ГЕОМЕТРИЯ (все вместе), которая нужна архитектору, строителю, швее, токарю, астроному, автолюбителю, геодезисту и другим специалистам.

И кто бы мог подумать раньше, что такую серьезную, сухую, строгую науку, как ГЕОМЕТРИЯ можно совместить с музыкой и пением. А оказывается можно.

Впереди у нас с вами самостоятельная работа, в выполнении которой вам поможет услышанное и увиденное сегодня, а задание для этой работы содержится в этой веселой песенке:

Парад геометрических фигур

На мелодию “Колдунья”, гр. “Золотое Кольцо”

Вам сегодня песенку спою
Незадачливую может где-то.
Вы не просто слушайте меня,
Чертежи в тетрадях нужно сделать.

Геометрия – наука эта точная всегда.
В ней прямая, точка, плоскость –
Очень близкие друзья.
Архимед окружность палкой
На песке нарисовал,
Свойства мы ее изучим
Их в наследство он нам дал.

А Евклид в своих “Началах” нам
Все трактаты честно изложил.
Ими пользуемся мы сейчас
Хотя тыщи лет уже прошли.

Если точку взять, то можно
Прямых столько провести,
Посчитать ты их не сможешь
От зари и до зари,
А вторую коль поставишь,
Мне поверьте, - он сказал, -
Лишь одна прямая будет.
Как сказал, так написал.

Мне задание учитель дал:
Ты отметь в тетради точки три лишь.
Как угодно их соедини,
Посмотри из этого что выйдет.

Ну, крутила я их этак,
Покрутила я их так, -
Ничего не получается,
Но думать я мастак!..
Карандаш с линейкой в руки –
Занялась я чертежом.
Вы, ребятки, посмотрите
Получилось, что потом.

Ты в тетради это сделай,
К чертежам все напиши.
Ну, а я потом проверю, -
Оценю все от души.
Честно слово, от души!

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ:

1. Постройте угол. Обозначьте его АВС
2. Измерьте этот угол с помощью транспортира. АВС = ?
3. Постройте угол равный АВС и обозначьте его COD
4. Постройте углы:
   а) прямой;

б) острый;
с) тупой.

5. Обозначьте построенные вами углы:
   а) MNK
   б) BOD
   с) KOF