Виды уравнений и способы их решения

Форма: урок устной работы.

Цели:

• Обучающая: привести в систему знания учащихся по данной теме (повторить теорию, выработать умение определять вид уравнения и выбирать рациональный способ решения данного уравнения);
• Развивающая: интенсивное и творческое мышление, желание поиска решения;
• Воспитывающая: привитие интереса к устной работе, воспитание навыков сознательного усвоения материала.

Ход урока

I. Мотивация.

Историческая справка о возникновении “алгебры” в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений (1 мин.)

II. Повторение теоретического материала.

Фронтальный опрос.

1. Что называется уравнением?
2. Что значит решить уравнение?
3. Что называется корнем уравнения?
4. Какие существуют способы решения уравнений?
5. Какие виды уравнений вы знаете?
6. Как определяется степень уравнения?
7. Каков общий вид линейного уравнения? Квадратного?
8. Дайте определение целого, дробно-рационального, уравнения с модулем.
9. Дайте определение целого, дробно-рационального, уравнения с модулем.
10. Что называется областью допустимых значений уравнения?

III. Устная работа.

Решите уравнение, объясняя какого вида уравнение, назовите способ его решения, теоретически обосновывая каждый шаг.

А) Линейные уравнения

1.

3х + (20 – х) = 30 линейное уравнение

3х + 20 –1х = 30 раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые

2х + 20 = 30 переносим слагаемые без переменной в правую часть, меняя знак

2х = 30 – 20

2х = 10

х = 10 : 2

х = 5 находим значение переменной

2.

7m/5 = 2m/3 линейное уравнение

7m * 3 = 5 * 2m решается по свойству пропорции

21 m = 10 m переносим слагаемые в левую часть уравнения

21 m – 10 m = 0 приводим подобные члены

11 m = 0 свойство произведения (равенство 0)

m = 0

3.

( х – 3 )² – х ² = 7 – 5 х  раскрываем скобки

х² – 6х + 9 – х² = 7 – 5 х приводим подобные слагаемые

– 6х + 9 = 7 – 5 х переносим слагаемые

6х + 5х = 7 – 9 приводим подобные слагаемые

х = –2  делим на (–1)

х = 2

Б) Квадратные уравнения, и уравнения, приводимые к квадратным

1.

z² – 10 = 29 неполное квадратное уравнение

z² = 39 > 0; 2 корня

z₁ =

z₂ = –

2.

– х² = 13 неполное квадратное уравнение

х² = –13 < 0 корней нет

3.

( х – 4 )² – 5 ( х – 4 ) + 6 = 0 уравнение, приводимое к квадратному

x – 4 = a

а ² –5а +6 = 0

по теореме, обратной теореме Виета

{ а₁ + а₂ = 5

а₁ а₂ = 6, следовательно а₁ = 2, а₂ = 3

решаем обратную подстановку:

х – 4 =2

х =6

или

х – 4 = 3

х = 7

4.

х⁴ – 13 х² + 26 = 0, уравнение биквадратное

x² = t, t 0

t² – 13 t + 36 = 0

Д = ( –13 )² – 4*36 = 169 – 144 = 25 >0, 2 корня

t_{1, 2} =( 13 + 5) : 2

t₁ = 9 > 0

t₂= 4 > 0

Решаем обратную подстановку:

х² = 9 > 0, 2 корня

х₁ = 3

х ₂= –3

х² =4 > 0 , 2 корня

х₁ = 2

х₂ = -2

Ответ: –3; –2; 2; 3.

5.

( х + 2 )⁴ – 11 (х + 2 )² = 12

(x + 2)² = t, t 0

t² – 11 t – 12 = 0

по теореме, обратной теореме Виета:

{ t ₁+ t₂ = 11

t₁ t₂ = –12, следовательно t₁ = 12 0

t₂ = –1 – посторонний корень

Решаем обратную подстановку:

(х + 2)² = 12

х² + 4х + 4 = 12

х ² + 4 х – 8 = 0

Д = 48 > 0, 2 корня

х_{1, 2} = ( –4 + 4 ) : 2

х_{1, 2} = –2 + 2

В) Уравнения высших степеней

1.

х ² = х³

х ²– х³ = 0

х² ( 1 – х ) = 0, следовательно х = 0 или 1 – х = 0 х = 1

Ответ: 0; 1.

2.

3y ⁵ = 96

разделим обе части на 3:

y⁵ = 32

y =

y = 2

3.

х ³+ х² + х + 1 = 0

( х³ + х²) + ( х + 1) = 0

х² (х + 1) + ( х+ 1) =0

( х+ 1) (х² +1) = 0, следовательно х + 1 = 0 или х² + 1 = 0

х = –1 х² = –1 < 0, корней нет

Ответ: –1.

4.

–5,5 n ( n – 1 ) (n + 2,5) ( n – 3/ 7) = 0

–5,5 n = 0 или n – 1 = 0 или n + 2,5 = 0 или n – 3/ 7 = 0

n = 0

n = 1

n = – 2, 5

n = 3/ 7

Г) Дробно-рациональные уравнения

1.

Ответ: –2.

Д) Иррациональные

1.

х = 8² = 64

2.

2 а – 5 = 5²

2 а = 25 + 5

2 а = 30

а = 15

проверка:

2 а – 5 0

2 * 15 – 5 = 25 0

Ответ: 15.

Е) Уравнения с модулем

Х – 5 | х | = 0

х² – 5х = 0, если х > 0

х ² + 5х = 0 ,

если х 0

х =5

х = 0

х = –5

Ж) Уравнения с параметрами

2а² х – 5 = 17

2 а ²х = 22

х = 22: 2а²

а – любое число.

IV. Устная самостоятельная работа с последующей проверкой (уровневая)

Задание: Решите уравнение, фиксируя на листе только ответы.

“А” ( на оценку “3”)

2х² = 162

а² – 6а + 8 = 0

х⁵ – х⁴ = 0

“Б” (на “4”)

(х² – 1)² – 11 ( х² – 1) + 24 = 0

х ⁷+ х ⁶+ х + 1 = 0

(х + 5) (х – 6/7) (х + 1/3) (х –8) = 0

“В” ( на “5”)

1. ( х² –2) ²– 9 (х² – 2 ) + 14 = 0

2. O 2х – 5 = 4

3. х ⁵+ х⁴ + х + 1 = 0

V. Итоги урока Виды уравнений; Способы решения; Активность учащихся, оценка устной работы.

 VI. Домашнее задание

Индивидуальные карточки с наборами уравнений.