Deprecated: Array and string offset access syntax with curly braces is deprecated in /home/c/cs16535/shpors/public_html/engine/classes/templates.class.php on line 162 Deprecated: Array and string offset access syntax with curly braces is deprecated in /home/c/cs16535/shpors/public_html/engine/modules/sitelogin.php on line 110 :VLIVKOR.COM: > Версия для печати > Делимость
{S_links}
{ML_links}

Vlivkor.Com > Статьи, Преподавание > Делимость
{LF_links}

Делимость


30 октября 2008. Разместил: lessons

Курс по выбору для учащихся 8–9-х классов

На занятиях курса по выбору учащиеся углубляют и расширяют знания, получаемые на уроках, приобретают умения решать более трудные и разнообразные задачи. При отборе вопросов, наряду с их внутри математической направленностью учтена и прикладная значимость. Степень проработки, предусмотренная программой данного курса, учитывает также возможности их углубленного рассмотрения в доступной, занимательной форме, обеспечение содержательными задачами. Отличительной чертой данной программы является то, что она частично может быть использована в классах с углубленным изучением математики.

Пояснительная записка.

Овладение практически любой современной профессией требует тех или иных знаний по математике. Математические знания, представление о роли математики в современном мире стали необходимыми компонентами общей культуры.

В школе математика является опорным предметом, обеспечивающим изучение на современном уровне ряда других дисциплин, как естественных, так и гуманитарных. Математика является профилирующим предметом на вступительных экзаменах в вузы по широкому спектру специальностей. Наряду с поступающими на математические отделения и в технические вузы вступительные экзамены по математике сдают будущие физики, химики, биологи, врачи, психологи, экономисты.

На занятиях курса по выбору учащиеся углубляют и расширяют знания, получаемые на уроках, приобретают умения решать более трудные и разнообразные задачи.

При отборе вопросов, наряду с их внутри математической направленностью учтена и прикладная значимость. Степень проработки, предусмотренная программой данного курса, учитывает также возможности их углубленного рассмотрения в доступной, занимательной форме, обеспечение содержательными задачами.

Отличительной чертой данной программы является то, что она частично может быть использована в классах с углубленным изучением математики.

Содержание программы.

  •   Понятие делимости. Делимость суммы и произведения. Признаки делимости. Основная теорема арифметики. Свойства деления с остатком. Бесконечность множества простых чисел. Взаимно-простые числа. (4ч)
  • Сравнения по модулю. Основные свойства сравнений по модулю. (4ч)
  • НОД и НОК. Алгоритм Евклида. Критерий взаимной простоты двух чисел. (4ч)

 

Учебно-тематическое планирование.

№ занятия

Тема занятия

Форма проведения

Контроль

1-2

 Основная теорема арифметики

Лекция

 Самостоятельное решение задач с последующей проверкой

3-4

 Деление с остатком

Практикум по решению задач

 Тест

5-6

 Сравнения по модулю

Лекция

 Самостоятельное решение задач с последующей проверкой

7-8

 Основные свойства сравнений по модулю

Практикум по решению задач

 Домашняя контрольная работа

9-10

 НОД и НОК. Алгоритм Евклида.

Семинар

  

11-12

 Зачет по теме "Делимость"

Зачет

 собеседование

Требования к знаниям и умениям учащихся:

  • Знать основную теорему арифметики, уметь применять ее при решении задач.
  • Знать основные свойства сравнений по модулю, уметь находить числа, сравнимые по модулю m.
  • С помощью алгоритма Евклида уметь находить НОД и НОК чисел.

Примерные задачи для проведения занятий:

  1. Натуральное число умножили на каждую из его цифр, получили 1995. Найдите исходное число.
  2. Решите в натуральных числах уравнения: а) x2=y2+21; б) ху = х + у.
  3. Докажите, что число имеет нечетное число делителей (включая 1 и само число), тогда и только тогда, когда оно является точным квадратом.
  4. Сколько делителей имеет число?
    alt
  5. Докажите, что квадрат любого натурального числа либо делится на 9, либо дает при делении на 3 остаток 1.4
  6. Докажите, что если сумма квадратов двух целых чисел делится на три, то она делится и на 9.
  7. Найдите остаток при делении числа 2001 ? 2002 + 20035 на 7.
  8. Найти остаток при делении 9100 на 8.
  9. а) Найдите последнюю цифру числа 7200 + 92002.

    10. б) Найдите 2 последние цифры чисел 20012001, 162002.

  10. Докажите, что при любом натуральном n выражение n3 + 5n делится на 6.
  11. а) Верно ли, что – 17 ? 11(mod 7)?

    12. б) Какой остаток при делении на 73 дает число a, если a ? – 15 (mod 73).

  12. Найти остаток при делении 6100 на 7.
  13. Докажите свойство е).
  14. Докажите, что куб любого целого числа a сравним с самим числом a по модулю 6.
  15. Сумма кубов пяти натуральных чисел делится на 9. Докажите, что произведение этих чисел делится на 3.
  16. Найдите НОД(27? 35? 13; 24? 72? 133), НОК(27? 35 ? 13; 24? 72? 133).
  17. Докажите, что НОД(a, b)·НОК(a, b) = ab для любых натуральных a и b.
  18. Чему может быть равен наибольший общий делитель чисел а) 2n + 1 и n + 1; б) 2n + 1 и 3n + 2; в) 3n + 1 и 8n + 7; г) n + 1 и n2 + n + 1 при различных n?
  19. С помощью алгоритма Евклида найдите а) НОД (20, 14); б) НОД (39, 102).
  20. Докажите, что для любых двух чисел алгоритм Евклида заканчивается, то есть остаток становится равным 0 после конечного числа шагов.
  21. Докажите что для любых целых чисел a и b НОД(a, b) равен a) НОД(a+b, b); б) НОД(a – b, b); в) НОД(a – kb, b) для любого целого k.  a и b – целые числа, r – остаток от деления a на b. Докажите, что НОД(a, b) = НОД(b, r). Докажите, что результатом алгоритма Евклида является НОД(a, b).
  22. Найдите НОД.
    alt
  23. На прямой сидит блоха, и прыгает всякий раз либо на 15 сантиметров вправо, либо на 21 сантиметр влево. В каких точках прямой может побывать эта блоха?
  24. .Докажите, что а) если m1 и m2 линейно представимы через a и b, то m1 + m2 и m1 – m2 также линейно представимы через a и b; б) если m линейно представимо через a и b, то km представимо через a и b для любого целого k; в) НОД(a, b) линейно представим через a и b; г) число m линейно представимо через a и b тогда и только тогда, когда оно делится на НОД (a, b).
  25. В государстве имеют хождение монеты достоинством a и b золотых, где a и b – взаимно простые натуральные числа. Докажите, что покупатель может заплатить в магазине любую сумму в целое число золотых (возможно, получив сдачу), при условии, что и у покупателя, и у продавца имеется достаточно большой запас монет каждого достоинства.

Контрольные задания:

  1. Может ли сумма квадратов двух нечетных чисел быть квадратом четного числа?
  2. Пятая степень числа оканчивается на ту же цифру, что и само число. Почему? Для каких еще степеней это верно?
  3. Квадрат целого положительного числа оканчивается на те же 2 цифры, что и само число. Что это за цифры?
  4. Докажите, что ни при каком натуральном k число 3k + 5k не является квадратом натурального числа.
  5. Найти остаток при делении (116 + 1717)21? 749 на 8.
  6. Докажите, что если a и b – натуральные числа, причем а2 + b2 делится на 21, то а2 + b2 делится и на 441.
  7. При каких натуральных n выражение n2 – 6n – 4 делится на 13?
  8. Докажите, что n3 + 2 не делится на 9 ни при каком натуральном n.
  9. Последовательность чисел Фибоначчи задана по следующему правилу: Ф1 = Ф2 = 1, при n >  1 Фn+1 = Фn + Фn – 1 (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...). К числам Ф 100 и Ф99 применили алгоритм Евклида. Через сколько шагов он закончится, и чему равен его результат?
  10. Числа a, b и c взаимно просты в совокупности, то есть НОД(a, b, c) = 1. Докажите, что любое целое число линейно представимо через a, b и c, то есть для любого d существуют целые x, y и z такие, что d = ax + by + cz.
  11. Десятичная запись числа A состоит из 30 единиц и нескольких нулей. Может ли число A быть полным квадратом?
  12. Найти все k, для которых 2k – 1 делится на 7.
  13. Докажите, что если число a + b + c делится на 6, то число a3 + b3 + c3 тоже делится на 6.
  14. Найдите НОД (235 + 1, 2100 + 1).
  15. В государстве имеют хождение монеты достоинством a и b золотых, где a и b – взаимно простые натуральные числа.

    16. а) Докажите, что такими монетами можно набрать (без сдачи) любую сумму, начиная с 2ab золотых.

    б) Найдите наибольшее число золотых, которое нельзя набрать такими монетами.

  16. a и b – взаимно простые натуральные числа. В доме есть лифт с двумя кнопками, одна из которых поднимает лифт на a этажей вверх, а вторая опускает на b этажей вниз, если это возможно (например, на последнем этаже первая кнопка не работает). Докажите, что на этом лифте можно попасть с любого этажа на любой другой, если высота дома не меньше а) 2ab ; б) a + b.

Литература для учащихся:

  1. Н.Я. Виленкин. Алгебра, учебник для 8 классов с углубленным изучением математики. Москва, Просвещение, 2000г
  2. М.Л. Галицкий. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Москва, Просвещение, 2003г
  3. Л.Ф. Пичурин. За страницами учебника математики. Москва, Просвещение, 1990г

Литература для учителя:

  1. И.В. Кадыров. Взаимосвязь внеклассных и факультативных занятий по математике. Москва, Просвещение, 1983г
  2. И.И. Баврин. занимательные задачи по математике. Москва, Владос, 2003г
  3. Н.П. Кострикина. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов. Москва, Просвещение, 1991г

Александрова Наталья Михайловна


{SL_links}
Вернуться назад